1) В первом предложении нужно использовать определенный артикль "the", так как речь идет о конкретной погоде в определенный день. Правильная форма: "What's the weather like today?" Во втором предложении перед словом "weather" также нужен артикль "the", потому что продолжается речь о той же погоде: "The weather is fine."
2) В этом предложении перед "friend" и "bicycle" не нужны артикли, если имеется в виду любой друг и любой велосипед в общем. Если речь идет о конкретном друге, который уже упоминался или известен из контекста, перед "friend" нужно использовать артикль "my" (как и сделано в вопросе). Правильное предложение: "My friend has no bicycle."
3) В третьей части, перед "letter" нужен неопределенный артикль "a", так как это первое упоминание о письме. Правильно будет: "I got a letter from my friend yesterday." В следующем предложении, где письмо уже упоминалось, используется определенный артикль "the": "The letter is interesting."