Давайте рассмотрим каждое предложение отдельно и вставим артикли там, где это необходимо:
She is a good musician; she plays the piano beautifully.
Здесь используется неопределённый артикль "a" перед существительным "good musician", так как это первое упоминание о профессии. Определённый артикль "the" используется перед музыкальным инструментом "piano".
The Mississippi is larger than the Thames.
Поскольку речь идёт о реках, используется определённый артикль "the" перед их названиями.
This hotel is more comfortable than the other one.
Артикль "the" используется для конкретизации другого отеля, с которым сравнивается данный.
Mary is not at the office. I think she has gone home.
Определённый артикль "the" используется с существительным "office", так как это определённое место. Слово "home" не требует артикля в данном контексте.
At the age of nineteen, he joined the army.
Определённый артикль "the" используется с фразой "age of nineteen" и существительным "army", поскольку подразумевается конкретный возраст и армия как организация.
I saw a beautiful dress in a shop yesterday.
Используется неопределённый артикль "a" перед "beautiful dress" и "shop", так как это первое упоминание о платье и магазине.
This is the most expensive car of them all.
Используется артикль "the" перед "most expensive car", так как это превосходная степень.
The weather here is colder than at home.
Определённый артикль "the" используется перед "weather", так как речь идёт о конкретной погоде.
He studies French and English.
Артикль не требуется перед названиями языков.
She doesn't use sugar when she cooks.
Артикль не требуется перед "sugar", так как это неисчисляемое существительное в общем смысле.
My friend stayed at home last night and listened to the radio.
Артикль не требуется перед "home", а "the" используется перед "radio", так как это конкретное устройство для прослушивания.
It was a summer afternoon; the sun was shining.
Неопределённый артикль "a" используется перед "summer afternoon", так как это первое упоминание о времени суток, а "the" используется перед "sun", так как речь идёт о конкретном солнце.
Do you go to work by car?
Артикль не требуется перед "work" и "car" в данном контексте.
Pete is not watching television at the moment.
Артикль "the" используется перед "moment", так как это конкретный момент времени. Слово "television" не требует артикля в данном контексте.
This man came from France.
Артикль не требуется перед названием страны.
He doesn't work at a restaurant; he works at the post office.
Неопределённый артикль "a" используется перед "restaurant", так как это первое упоминание о ресторане. Определённый артикль "the" используется перед "post office", так как речь идёт о конкретной почте.
They eat a lot.
Неопределённый артикль "a" используется перед "lot" в выражении "a lot".
We were at the theatre last week. There was a very interesting performance.
Определённый артикль "the" используется перед "theatre", так как это конкретный театр. Неопределённый артикль "a" используется перед "very interesting performance", так как это первое упоминание о представлении.
We saw her when she was going to work.
Артикль не требуется перед "work" в данном контексте.
Надеюсь, это поможет вам лучше понять использование артиклей в английском языке.